Zufallsgröße
Eine Zufallsgröße, oder auch Zufallsvariable, ist eine Funktion X. Sie ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zu
X: Omega -> R
Zum Beispiel kann ein Würfelwurf die Ergebnisse 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 haben. Die Zufallsvariable X ordnet dann jedem Wurf die gewürfelte Augenzahl zu.
Gut zu wissen: Da Zufallsgrößen reelle Zahlen sind, kannst du für sie Kennzahlen wie den Erwartungswert , die Standardabweichung und die Varianz berechnen.
Du unterscheidest zwischen zwei Arten von Zufallsgrößen: diskrete und stetige Zufallsgrößen.
Alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments werden im Ergebnisraum Omega zusammengefasst. Die Zufallsgröße kennzeichnest du mit Großbuchstaben (X). Die einzelnen Werte der Zufallsgröße gibst du hingegen mit Kleinbuchstaben (k) an.
Diskrete Zufallsgrößen
Eine diskrete Zufallsgröße kann nur endlich (zählbar) viele Werte annehmen. Beispiele für Experimente mit diskreten Zufallsgrößen sind: Die Augenzahl bei einem Würfelwurf oder die Anzahl der Besucher im Fitnessstudio an einem Tag.
Jeder Wert k, den die Zufallsgröße X annehmen kann, tritt dabei mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit p auf.
Die Wahrscheinlichkeit, mit der ein einzelner Wert eintritt, gibst du so an:
P (X = k) = p
Stetige Zufallsgrößen
Eine stetige Zufallsgröße kann beliebig viele Werte innerhalb eines Intervalls annehmen. Das heißt, sie hat keine Lücken. Dazu zählen Zufallsexperimente zu dem Gewicht von Personen oder der Verspätung der Bahn.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße einen bestimmten von unendlich vielen Werten annimmt, schrumpft daher auf null.
Deshalb sind hier nur Aussagen darüber möglich, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Zufallsgröße X größer bzw. kleiner als ein Wert ist oder zwischen zwei Werten liegt.
Die Wahrscheinlichkeit p für die verschiedenen Möglichkeiten schreibst du so:
Gibst du für jeden Wert xi einer diskreten oder stetigen Zufallsgröße X, die Wahrscheinlichkeit P(X = xi) an, entsteht eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Auch hier unterscheidest du zwischen diskreten und stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Ein Beispiel für eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Binomialverteilung. Eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist z. B. die Normalverteilung.