Was ist Kombinatorik?

Die Kombinatorik behandelt die Anzahl der möglichen Kombinationen der Elemente k aus einer gegebenen Menge an n Elemente. Sie findet bei vielen Zufallsexperimenten Anwendung.

Grundbegriffe der Kombinatorik

1. Fakultät (n!)

Die Fakultät ist das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n:

n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) . . . 1

Beispiel: $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$

Ausnahme: $0! = 1$

2. Permutation

Permutationen zählen die Anzahl der Möglichkeiten, n-Elemente in einer bestimmten Reihenfolge anzuordnen.

Ohne Wiederholung:

P (n) = n!

Beispiel: Wie viele Anordnungen gibt es für die Buchstaben A, B und C?

$P (3) = 3! = 6 (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA)$

Mit Wiederholung:

P (n; k_{1} ​, k_{2} ​, . . ., k_{r} ​) = \frac{n!}{k_{1} ​! \cdot k_{2} ​! . . . k_{r} ​! ​}

Beispiel: Wie viele Anordnungen gibt es für die Buchstaben A, A, B?

$P (3; 2, 1) = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = 3 (AAB, ABA, BAA)$

3. Kombination

Kombinationen zählen die Möglichkeiten, k-Elemente aus n-Elementen auszuwählen, ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.

Ohne Wiederholung:

C = (\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}

Beispiel: Wie viele 2er-Teams lassen sich aus 4 Personen (A, B, C, D) bilden?

$C = (\binom{4}{2}) = \frac{4!}{2! \cdot (4 - 2)!} = 6 (AB, AC, AD, BC, BD, CD)$

Mit Wiederholung:

C = (\binom{n + k - 1}{k}) = \frac{(n + k - 1)! ​}{k! \cdot (n - 1)!}

Beispiel: Wie viele Kombinationen gibt es, wenn man 2 Kugeln aus einer Kiste mit 3 Farben (Rot, Blau, Grün) ziehen darf, wobei jede Farbe mehrfach vorhanden ist?

$C = (\binom{3 + 2 - 1}{2}) = (\binom{4}{2}) = 6 (RR, RB, RG, BB, BG, GG)$

4. Variation

Variationen zählen die Möglichkeiten, k-Elemente aus n-Elementen auszuwählen, mit Berücksichtigung der Reihenfolge.

Ohne Wiederholung:

V = \frac{n!}{(n - k)!}

Beispiel: Wie viele Möglichkeiten gibt es, die ersten beiden Plätze in einem Rennen mit 10 Teilnehmern zu vergeben?

$V = \frac{10}{(10 - 2)!} = 90$

Mit Wiederholung:

V = n^{k}

Beispiel: Wie viele Möglichkeiten gibt es, 3 Kugeln aus einer Kiste mit 5 Farben zu ziehen, wobei Farben mehrfach vorkommen dürfen?

$V = 5^{3} = 125$

Hinweise (Wiederholung)

Ohne Wiederholung: Ein Element kann nur einmal verwendet werden.

Mit Wiederholung: Ein Element kann mehrfach verwendet werden.

Manchmal wird Wiederholung auch als Zurücklegen bezeichnet

Formelübersicht

Typ	Ohne Wiederholung	Mit Wiederholung
Permutation	$P (n) = n!$	$P (n; k_{1}, k_{2}, . . .) = \frac{n!}{k_{1}! k_{2}!}$
Kombination	$C = (\binom{n}{k})$	$C = (\binom{n + k - 1}{k})$
Variation	$V = \frac{n!}{(n - k)!}$	$V = n^{k}$

Anwendung in der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Um mit der Kombinatorik Wahrscheinlichkeiten zu berechnen benötigt es die Formel:

P (E) = \frac{günstige Fälle}{alle möglichen Fälle}

Dabei werden günstige und mögliche Fälle meist mit den oben genannten Formeln berechnet.

Beispiel:

In einer Lotterie werden 6 aus 49 Zahlen gezogen. (siehe Lottomodell)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, alle 6 Zahlen richtig zu tippen?

Alle möglichen Fälle:

(\binom{49}{6}) = 13.983.816

--> Anzahl aller möglichen Kombinationen von 6 unterschiedlichen Zahlen aus 49 Zahlen.

Günstige Fälle:

(\binom{6}{6}) = 1

--> Es gibt nur 1 mögliche Kombination, die 6 richtigen Zahlen zu treffen, da nur 6 Zahlen gezogen werden.

Wahrscheinlichkeit:

P = \frac{1}{13.983.816}

Verständnis Überprüfung

Welche Variante zur Berechnung der Möglichkeiten beim Lotto Modell ist die richtige?