Was ist eine Vierfeldertafel?
Die Vierfeldertafel ist eine Tabelle, mit der man die Wahrscheinlichkeiten von zwei abhängigen oder unabhängigen Ereignissen übersichtlich darstellen kann. Sie wird oft in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik verwendet. Sie hilft vor allem, wenn du zwei Ereignisse A und B hast und wissen willst, wie oft sie gemeinsam oder getrennt auftreten.
Aufbau einer Vierfeldertafel
Eine Vierfeldertafel besteht aus vier Feldern in einer 2×2-Tabelle plus Randwerte. Sie zeigt, wie oft oder mit welcher Wahrscheinlichkeit zwei Ereignisse gemeinsam oder getrennt auftreten.
| Ereignis B tritt ein | Ereignis B tritt nicht ein | Summe | |
|---|---|---|---|
| Ereignis A tritt ein | P(A∩B) | P(A∩¬B) | p(A) |
| Ereignis A tritt nicht ein | P(¬A∩B) | P(¬A∩¬B) | P(¬A) |
| Summe | P(B) | P(¬B) | 1 |
Erklärung der Begriffe:
P(A∩B) = Wahrscheinlichkeit, dass A und B eintreten. P(A∩¬B) = Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, aber B nicht. P(¬A∩B) = Wahrscheinlichkeit, dass A nicht eintritt, aber B. P(¬A∩¬B) = Wahrscheinlichkeit, dass weder A noch B eintreten. Randwerte: Die Summen der Zeilen und Spalten geben die Wahrscheinlichkeiten der Einzelereignisse an.
Beispiel zur Vierfeldertafel
In einer Schule wurden 200 Schüler gefragt, ob sie Mathe mögen (AAA) und ob sie Sport mögen (BBB). Die Ergebnisse:
• 90 Schüler mögen Mathe und Sport.
• 50 Schüler mögen Mathe, aber nicht Sport.
• 30 Schüler mögen kein Mathe, aber Sport.
• 30 Schüler mögen weder Mathe noch Sport.
Schritt 1: Vierfeldertafel ausfüllen
| Sport ja (B) | Sport nein (¬B) | Summe | |
|---|---|---|---|
| Mathe ja (A) | 90 (Mathe & Sport) | 50 (Mathe, aber kein Sport) | 140 |
| Mathe nein (¬A) | 30 (Kein Mathe, aber Sport) | 30 (Weder Mathe noch Sport) | 60 |
| Summe | 120 | 80 | 200 |
Schritt 2: Wahrscheinlichkeiten berechnen
Da 200 Schüler befragt wurden, können wir die Wahrscheinlichkeiten berechnen, indem wir jede Zahl durch 200 teilen.
| Sport ja (B) | Sport nein (¬B) | Summe | |
|---|---|---|---|
| Mathe ja (A) | 90/200 = 0,45 | 50/200 = 0,25 | 140/200 = 0,70 |
| Mathe nein (¬A) | 30/200 = 0,15 | 30/200 = 0,15 | 60/200 = 0,30 |
| Summe | 120/200 = 0,60 | 80/200 = 0,40 | 1 |
Interpretation der Vierfeldertafel:
Beispiele für Wahrscheinlichkeiten aus der Tabelle:• Wie wahrscheinlich ist es, dass ein zufällig ausgewählter Schüler Mathe mag?
P(A) = 0,70 (70%)
• Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Schüler weder Mathe noch Sport mag?
P(¬A∩¬B) = 0,15 (15%)
• Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Schüler Sport mag, wenn er Mathe mag? (bedingte Wahrscheinlichkeit)
P(B|A) = P(A∩B)/P(A) = 0,45/0,70 = 0,64 (64%)
Wozu brauche ich die Vierfeldertafel?
• Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen (z. B. „Wie wahrscheinlich ist B, wenn A eintritt?“).
• Zusammenhänge zwischen zwei Ereignissen erkennen.
• Zusammenhänge zwischen zwei Ereignissen erkennen.• Wahrscheinlichkeiten übersichtlich darstellen.
• Statistische Untersuchungen und Tests durchführen (z. B. Unabhängigkeitstests).
Fazit
• Die Vierfeldertafel ist ein einfaches, aber mächtiges Werkzeug, um Wahrscheinlichkeiten übersichtlich darzustellen.
• Sie hilft dabei, Zusammenhänge zwischen zwei Ereignissen zu verstehen.
• Sie ist besonders nützlich in Statistik, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Wissenschaft.