Begriffsklärung

Die Standardabweichung gibt an, wie stark die Werte einer Datenmenge im Durchschnitt von ihrem Mittelwert abweichen. • Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass die Werte nah am Mittelwert liegen (geringe Streuung). • Eine große Standardabweichung bedeutet, dass die Werte weit gestreut sind (hohe Streuung). Die Standardabweichung wird oft mit σ (Sigma) bezeichnet.

Wie wird die Standardabweichung berechnet?

Es gibt zwei verschiedene Formeln – je nachdem, ob du eine Grundgesamtheit oder eine Stichprobe betrachtest.

A. Standardabweichung der Grundgesamtheit (σ)

Wenn du alle Werte einer Population hast, verwendest du die Formel:

Bedeutung der Symbole:

• x|i= einzelner Wert in der Datenmenge

• μ = Mittelwert der gesamten Population

• N = Anzahl der Werte in der Population

• σ = Standardabweichung

B. Standardabweichung einer Stichprobe (s)

Wenn du nur eine Stichprobe (Teilmenge) der gesamten Population hast, verwendest du:

Der einzige Unterschied: Wir teilen durch n−1 statt durch N, um Verzerrungen bei kleinen Stichproben zu vermeiden.

Bedeutung der Symbole:

• = Stichprobenmittelwert

• n = Anzahl der Werte in der Stichprobe

• s = Stichproben-Standardabweichung

Beispielrechnung

Angenommen, du hast die Werte: 4, 7, 10, 6, 8

Schritt 1: Mittelwert berechnen

Schritt 2: Abweichungen vom Mittelwert quadrieren

Schritt 3: Durchschnitt der quadrierten Abweichungen berechnen

(bei einer Population würden wir durch N = 5 teilen, aber wir nehmen eine Stichprobe, also n−1=4 ):

Also beträgt die Standardabweichung ca. 2.24.

Interpretation der Standardabweichung

• Wenn die Standardabweichung klein ist, liegen die Daten nah am Mittelwert.

• Wenn die Standardabweichung groß ist, sind die Daten weiter verstreut.

• In einer Normalverteilung gilt:

o 68 % der Werte liegen innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert

o 95 % innerhalb von zwei Standardabweichungen

o 99,7 % innerhalb von drei Standardabweichungen

Fazit

• Die Standardabweichung misst, wie weit die Daten vom Mittelwert abweichen

• Sie hilft dabei, die Streuung einer Datenmenge zu verstehen.

• Wird häufig in Statistik, Wirtschaft und Naturwissenschaften verwendet.