Was ist das Lottomodell?

Das Lotto Modell in der Stochastik ist ein Anwendungsbeispiel der Kombinatorik, der sich mit der Berechnung der Wahrscheinlichkeiten eines speziellen Ereignisses befasst. Dabei geht es um das Ziehen von "k" Elementen aus einer Menge von "n" Elementen, ohne Wiederholung und ohne Beachtung der Reihenfolge. Auch als Kombination ohne Wiederholung bezeichnet

Erklärung

Beim Lotto müssen aus 49 Zahlen 6 ausgewählt werden. Das Ziel ist die richtigen 6 Zahlen zu erwischen. Dabei wird eine bereits gezogene Zahl nicht zurück gelegt und es ist nicht von Bedeutung in welcher Reihenfolge die richtigen Zahlen gezogen werden.

Dabei wird die Formel $C = (\binom{n}{k})$ verwendet um die Menge aller möglichen Kombination zu berechnen.

n und k

n = Anzahl aller Zahlen

k = Anzahl der Ziehungen

Um jetzt die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer bestimmten Anzahl richtiger Zahlen bei einem Durchlauf bestimmen zu können, muss die Menge der passenden Kombinationen durch die Menge aller Kombinationen geteilt werden:

$P = \frac{günstige Fälle}{alle Fälle}$

$günstige Fälle = (\binom{n}{k})$
$alle Fälle = (\binom{n_{1}}{k_{1}}) \times (\binom{n_{2}}{k_{2}})$

$n_{1} = Anzahl aller richtigen Zahlen$
$n_{2} = Anzahl aller nicht richtigen Zahlen$
$k_{1} = Anzahl der benötigten richtigen Zahlen = Anzahl der zu ziehenden richtigen Zahlen$
$k_{2} = Anzahl der benötigten falschen Zahlen = Anzahl der zu ziehenden falschen Zahlen$

Beispiel

Du wählst 6 aus den 49 Zahlen beim Lotto. Bestimme $(\binom{n_{1}}{k_{1}}) \times (\binom{n_{2}}{k_{2}})$ für 2 aus 6 richtigen Zahlen.

Um die Werte für die verschiedenen n und k Variablen berechnen zu können, beginnt man damit sich die gegebenen Werte aus der Aufgabe herauszusuchen. In diesem Fall sind das:
die Gesamte Anzahl aller Zahlen n = 49,
die Menge an Zahlen die man ziehen muss k = 6,
die Menge aller richtigen Zahlen $n_{1} = 6$ und
die Menge der richtigen Zahlen die es gilt zu ziehen $k_{1} = 2$ .

n_{2} = n - n_{1}

n_{2} = 49 - 6 = 43

k_{2} = k - k_{1}

k_{2} = 6 - 2 = 4

Antwort: $(\binom{n_{1}}{k_{1}}) \times (\binom{n_{2}}{k_{2}}) = (\binom{6}{2}) \times (\binom{43}{4})$

Verständnis Überprüfung

$Es gilt n = 49 und k = 6.$

Was trifft für (\binom{n_{1}}{k_{1}}) \times (\binom{n_{2}}{k_{2}}) zu, wenn man 4 richtige Zahlen ziehen möchte?

Mit welcher allgemeinen Formel kann man nun die Wahrscheinlichkeit berechnen,
genau 4 Treffer beim Lotto zu erzielen?