Gegenwahrscheinlichkeit

Die Gegenwahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis nicht eintritt. Sie ist auch das Komplementärereignis zum ursprünglichen Ereignis.

Mathematisch gilt für ein Ereignis A mit Wahrscheinlichkeit P(A):

P (\neg A) = 1 - P (A)

$P (A)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A eintritt.
$P (\neg A)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass A nicht eintritt.

logische Negation

Die logische Negation steht für das Gegenteil einer Aussage.

➥ $Symbol: \neg$

Im Mathematik Unterricht wird häufig auch ein Strich über einem Zeichen verwendet.

➥ $A = Gegenteil von A (nicht A)$

Da Wahrscheinlichkeiten immer zwischen 0 und 1 liegen, stellt die Gegenwahrscheinlichkeit sicher, dass die Summe aller möglichen Fälle immer 1 ergibt.

Beispiel 1

Angenommen, du würfelst mit einem fairen sechsseitigen Würfel und möchtest wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, keine 6 zu würfeln.

„Ich würfle eine 6“ hat die Wahrscheinlichkeit:

P (A) = \frac{1}{6}

„Ich würfle keine 6“ hat die Wahrscheinlichkeit:

P (\neg A) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \approx 83.3 %

Beispiel 2

Die Gegenwahrscheinlichkeit wird oft benutzt, um kompliziertere Wahrscheinlichkeiten einfacher zu berechnen.

Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass du in 4 Würfen mindestens eine 6 würfelst?

Anstatt alle möglichen Fälle zu berechnen (1-mal, 2-mal, 3-mal oder 4-mal eine 6 zu würfeln), nutzen wir die Gegenwahrscheinlichkeit:

➔ Ereignis A: mindestens eine 6

1. Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, gar keine 6 zu würfeln:

Die Wahrscheinlichkeit, keine 6 in einem Wurf zu haben, ist:

P (\neg A) = \frac{5}{6}

Da die Würfe unabhängig sind, gilt für 4 Würfe:

P (\neg A)^{4} = {(\frac{5}{6})}^{4} \approx 0,4823

2. Nun nutzen wir die Gegenwahrscheinlichkeit:

$P (A) = 1 - P (\neg A)^{4}$

$P (A) = 1 - 0,4823 = 0,5177 \approx 51,8 %$

Die Wahrscheinlichkeit, dass du in 4 Würfen mindestens einmal eine 6 würfelst, ist ca. 51,8 %.