Was ist Binomialverteilung?

Die Binomialverteilung ist die mehrfache und unabhängige Wiederholung eines Bernoulli-Versuchs. Dabei interessiert uns die Anzahl der Erfolge (X) in n Wiederholungen des Bernoulli-Versuchs.

Allgemein beschreibt die Binomialverteilung die Anzahl der Erfolge in einer Serie von gleichartigen und unabhängigen Versuchen, die jeweils genau zwei mögliche Ergebnisse haben („Erfolg“ oder „Misserfolg“).

Bernulli

Bernulli-Versuch

Ein Bernoulli-Versuch ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ergebnissen („Erfolg“ oder „Misserfolg“). Die Wahrscheinlichkeit der Ergebnisse ändert sich während des Experiments nicht. Dabei gilt:

Erfolg $(E)$ mit der Wahrscheinlichkeit $p$

Misserfolg $(E)$ mit der Wahrscheinlichkeit $1 - p$

Beispiele

Eine Münze werfen: Kopf $(E)$ oder Zahl $(E)$
Würfeln: „6“ würfeln $(E)$ oder keine „6“ würfeln $(E)$
Prüfung: bestanden $(E)$ oder nicht bestanden $(E)$

Bernulli-Kette

Eine Bernoulli-Kette ist eine Reihe von $n$ unabhängigen Bernoulli-Versuchen. Jeder dieser Versuche hat:

Zwei mögliche Ergebnisse: Erfolg $(E)$ und Misserfolg $(E)$
Eine konstante Erfolgswahrscheinlichkeit $p$

Sie beschreibt die Ergebnisse jedes einzelnen Versuchs in der Kette.

Das Ergebnis einer Bernoulli-Kette könnte z. B. so aussehen: $[E, E, E, E, E]$ für $n = 5$ .

Bernulli-Formel

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X, mit k Erfolgen, wird durch die Binomialverteilung beschrieben:

$P (X = k) = (\binom{n}{k}) · p^{k} · (1 - p)^{n - k}$

$P (X = k)$ = Wahrscheinlichkeit, dass genau $k$ Erfolge auftreten.
$n :$ Anzahl der Bernoulli-Versuche
$k :$ Anzahl der Erfolge $(E)$
$p :$ Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem einzelnen Bernoulli-Versuch
$(\binom{n}{k}) :$ Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient gibt an, auf wie viele Arten man $k$ Objekte aus $n$ Objekten auswählen kann, ohne die Reihenfolge zu beachten. (siehe: Kombination)

(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}

Eigenschaften

Symmetrie: $(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})$
- Beispiel: $(\binom{8}{6}) = (\binom{8}{2})$
Besondere Werte:
- $(\binom{n}{0}) = 1$ (Es gibt genau eine Möglichkeit, nichts auszuwählen.)
- $(\binom{n}{n}) = 1$ (Es gibt genau eine Möglichkeit, alle Objekt auszuwählen.)
- $(\binom{n}{1}) = n$ (Es gibt genau n Möglichkeiten, ein Objekt auszuwählen.)

Summierte Binomialverteilung

Bei der Summierten Binomialverteilung werden alle Wahrscheinlichkeiten für alle Werte von $k_{1} bis k_{2}$ summiert.

P (X \leq k) = P (X = 0) + P (X = 1) . . . P (X = k)

= Wahrscheinlichkeit, bei n Versuchen höchstens k Treffer zu erzielen.

(= Summe aller Wahrscheinlichkeiten für 0 bis k)

➜ $P (X \leq k) = P (0 \leq X \leq k)$

Formeln

Punktwahrscheinlichkeit

$P (X = k)$ → Wahrscheinlichkeit für k.

Kumulative Wahrscheinlichkeiten

$P (X \leq k)$ → Summe aller Wahrscheinlichkeiten für 0 bis k.
$P (X < k)$ → Summe aller Wahrscheinlichkeiten für 0 bis k - 1.
$P (X > k)$ → Summe aller Wahrscheinlichkeiten für n bis k + 1.
$P (X \geq k)$ → Summe aller Wahrscheinlichkeiten für n bis k.

Intervallwahrscheinlichkeiten

$P (k_{1} \leq X \leq k_{2})$ → Summe aller Wahrscheinlichkeiten für k1 bis k2.
$P (k_{1} \leq X < k_{2})$ → Summe aller Wahrscheinlichkeiten für k1 bis k2 - 1.
$P (k_{1} < X \leq k_{2})$ → Summe aller Wahrscheinlichkeiten für k1 + 1 bis k2.
$P (k_{1} < X < k_{2})$ → Summe aller Wahrscheinlichkeiten für k1 + 1 bis k2 - 1.

Hinweise zu den Begriffen

Summierte Binomialverteilung und Kumulierte Binomialverteilung sind Synonyme.

Die Intervallwahrscheinlichkeiten sind ein Teil der Summierten Binomialverteilung.