Statistische Schätzungen

1. Ist die Häufigkeit (p) eines Merkmals in der Grundgesamtheit bekannt, so kann eine Prognose gemacht werden, mit welcher Häufigkeit (X;h) das Merkmal in einer zukünftigen Stichprobe bestimmter Größe (n) auftritt (Prognoseintervall).

2. Ist die Häufigkeit (p) eines Merkmals in der Grundgesamtheit unbekannt, so lassen sich durch ziehen und auszählen einer Stichprobe (n;h) Rückschlüsse auf die unbekannte Häufigkeit (p) des Merkmals in der Grundgesamtheit ziehen (Konfidenzintervall).

Sicherheitswahrscheinlichkeit P:

P	σ
68,3%	1
95,5%	2
99,7%	3
90%	1,64
95%	1,96
99%	2,58

Prognoseintervall für:

a. absolute Trefferzahlen

Gegeben: p ; n

Gesucht: Intervall, in dessen X mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit P liegt

Lösung: Anwendung der Sigma Regeln

ABER Prognoseintervalle werden nach innen gerundet

$\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}>3\to \text{Laplace Bedingung erfüllt}$

$\mu =E(x)=n\cdot p$

$\text{Intervall: }\mu -c\cdot \sigma <=X<=\mu +c\cdot \sigma$

b. relative Trefferzahlen

X liegt in einer Umgebung von µ:

$\text{1. }\mu -\sigma <=X<=\mu +\sigma$

$\text{2. }n\cdot p-\sigma <=X<=n\cdot p+\sigma$

$\text{3. }p-\frac{\sigma }{n}<=X<=p+\frac{\sigma }{n}$

X liegt in einer σ/n-Umgebung von P

Die Wahrscheinlichkeit von σ/n-Umgebung von p

X sei die Anzahl der Treffer in einer Bernoulli-Kette der Länge n mit der Trefferwahrscheinlichkeit p, σ sei die Standardabweichung von X. Es gelte die Laplace- Bedingung $\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}>3$ . Dann gelten die Werte der Sicherheitswahrscheinlichkeit P.

Konfidenzintervall

Gegeben: X ; n

Gesucht: Intervall, das die unbekannte Trefferwahrscheinlichkeit p abdeckt

Lösung: Umformen des Prognoseintervalls für relative Häufigkeit zum Konfidenzintervall

$p-\frac{c\cdot \sigma }{n}<=\frac{X}{n}<=p+\frac{c\cdot \sigma }{n}\text{ | }\frac{X}{n}=h(n)$

$p-\frac{c\cdot \sigma }{n}<=h(n)<=p+\frac{c\cdot \sigma }{n}\text{ | }-p;-h(n)$

$h(n)-\frac{c\cdot \sigma }{n}<=p<=h(n)+\frac{c\cdot \sigma }{n}$

Ein binomial verteiltes Merkmal besitze die unbekannte Wahrscheinlichkeit p. In einer Stichprobe vom Umfang n kommt das Merkmal mit der absoluten Häufigkeit X d.h. mit der relativen Häufigkeit h(n)=X/n vor. Dann kann p mit Hilfe eines Konfidenzintervalls vorgegebener Sicherheitswahrscheinlichkeit P abgeschätzt werden. Es gilt:

$h(n)-c\cdot \sqrt{\frac{h(n)\cdot (1-h(n))}{n}}<=p<=h(n)+c\cdot \sqrt{\frac{h(n)\cdot (1-h(n))}{n}}$