Erwartungswert

Der Erwartungswert (auch Mittelwert oder Erwartungswert einer Zufallsvariable genannt) ist ein zentrales Konzept in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Er gibt den „durchschnittlichen“ Wert an, den eine Zufallsvariable bei vielen Wiederholungen eines Experiments annehmen würde.

Für eine diskrete Zufallsvariable (z. B. das Ergebnis eines Würfels) ist der Erwartungswert definiert als die gewichtete Summe der möglichen Werte, wobei die Gewichte die Wahrscheinlichkeiten sind, mit denen diese Werte eintreten. Mathematisch wird der Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariablen X wie folgt berechnet:

$E(X)=\sum x_i\cdot P(x_i)$

Beispiel

Beim Würfeln mit einem fairen Würfel gibt es 6 mögliche Ergebnisse: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel eine dieser Zahlen zeigt, ist immer $\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟔}}$ .

Der Erwartungswert E(X) des Würfels beträgt somit:

$E(X)=1\cdot \left(\frac{1}{6}\right)+2\cdot \left(\frac{1}{6}\right)+3\cdot \left(\frac{1}{6}\right)+4\cdot \left(\frac{1}{6}\right)+5\cdot \left(\frac{1}{6}\right)+6\cdot \left(\frac{1}{6}\right)$

$E(X)=(1+2+3+4+5+6)÷6$

$E(X)=21÷6=\text{𝟑,𝟓}$

Das bedeutet, dass der durchschnittliche Wert, den du beim Würfeln erwartest, 3,5 ist. Natürlich kannst du kein Würfelergebnis von 3,5 haben, aber auf lange Sicht ist dies das arithmetische Mittel.

Weiterführendes Wissen

Für eine stetige Zufallsvariable (z. B. eine Normalverteilung) wird der Erwartungswert durch ein Integral statt einer Summe berechnet. Dabei integriert man die Zufallsdichte f(x) der Zufallsvariable über alle möglichen Werte x:

$E(X)=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}x\cdot f(x)dx$